Przenoszenie średniej interpretacji grafów

Wykresy ruchu Wprowadzenie do dyskusji Dlaczego jest tak wiele równań w tej książce Dlaczego fizycy nie mogą zadowolić się pisanym słowem, tak jak wszyscy inni? Nie byłoby łatwiej, gdybyśmy mówili bezpośrednio, zamiast maskować pomysły kryjące się za matematycznymi kryptogramami. Nowoczesna notacja matematyczna jest bardzo zwartą metodą kodować pomysły. Równania mogą łatwo zawierać informacje równoważne kilku zdaniom. Opis Galileusza obiektu poruszającego się ze stałą prędkością (być może pierwsze zastosowanie matematyki do ruchu) wymagał jednej definicji, czterech aksjomatów i sześciu twierdzeń. Wszystkie te zależności można teraz zapisać w jednym równaniu. Jeśli chodzi o głębokość, nic nie przebije równania. Cóż, prawie nic. Wróć do poprzedniej sekcji o równaniach ruchu. Powinieneś pamiętać, że te trzy (lub cztery) równania przedstawione w tej sekcji były ważne tylko dla ruchu ze stałym przyspieszeniem wzdłuż linii prostej. Ponieważ, jak słusznie zauważyłem, obiekt nigdy nie podróżował w linii prostej ze stałym przyspieszeniem w dowolnym miejscu wszechświata, w dowolnym czasie, te równania są tylko w przybliżeniu prawdziwe, tylko raz na jakiś czas. Równania są świetne do opisu wyidealizowanych sytuacji, ale nie zawsze je kroją. Czasami potrzebne jest zdjęcie, aby pokazać, co się dzieje 8212 matematyczny obraz zwany wykresem. Wykresy są często najlepszym sposobem przekazania opisów rzeczywistych wydarzeń w zwartej formie. Wykresy ruchu występują w kilku typach w zależności od tego, która z wielkości kinematycznych (czas, przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie) jest przypisana do której osi. czas przemieszczenia Zacznijmy od wykreślenia niektórych przykładów ruchu ze stałą prędkością. Trzy różne krzywe są zawarte na wykresie po prawej stronie, każdy z początkowym przesunięciem równym zero. Zauważ najpierw, że wykresy są proste. (Każdy rodzaj linii narysowanej na wykresie nazywa się krzywą, nawet linia prosta nazywana jest krzywą w matematyce). Można tego oczekiwać, biorąc pod uwagę liniową naturę odpowiedniego równania. (Zmienna niezależna funkcji liniowej jest podniesiona nie wyżej niż pierwsza moc.) Porównaj równanie przemieszczenia-czas dla stałej prędkości z klasycznym równaniem przechyłu ze spadkiem nauczanym w algebrze wprowadzającej. Tak więc prędkość odpowiada nachyleniu i początkowemu przesunięciu do punktu przecięcia na osi pionowej (powszechnie uważanej za oś quotyquota). Ponieważ każdy z tych wykresów ma swój punkt przecięcia w punkcie początkowym, każdy z tych obiektów miał takie samo początkowe przesunięcie. Ten wykres mógłby reprezentować wyścig, w którym wszyscy zawodnicy byli ustawieni na linii startu (chociaż przy tych prędkościach musiał to być wyścig między żółwiami). Jeśli był to wyścig, to zawodnicy byli już w ruchu, gdy wyścig się rozpoczął, ponieważ każda krzywa ma niezerowe nachylenie na starcie. Zauważ, że początkowa pozycja wynosząca zero nie musi oznaczać, że początkowa prędkość jest również zerowa. Wysokość krzywej nie mówi nic o jej nachyleniu. Na wykresie wykresu czasowego przemieszczenia równa się prędkość. przechwycenie quotyquota jest równe początkowemu przesunięciu. gdy dwie krzywe pokrywają się, dwa obiekty mają w tym samym czasie takie samo przesunięcie. W przeciwieństwie do poprzednich przykładów, pozwala wykreślić przesunięcie obiektu o stałym, niezerowym przyspieszeniu zaczynającym się od spoczynku w punkcie początkowym. Podstawowa różnica między tą krzywą a krzywą na poprzednim wykresie polega na tym, że ta krzywa faktycznie zakrzywia się. Relacja między przemieszczeniem a czasem jest kwadratowa, gdy przyspieszenie jest stałe i dlatego ta krzywa jest parabolą. (Zmienna funkcji kwadratowej jest podnoszona nie wyżej niż druga moc). Jako ćwiczenie, obliczmy przyspieszenie tego obiektu z jego wykresu. Przechwytuje początek, więc jego początkowe przesunięcie wynosi zero, przykład stwierdza, że ​​początkowa prędkość wynosi zero, a wykres pokazuje, że obiekt przebył 9 metrów w ciągu 10 sekund. Liczby te można następnie wprowadzić do równania. Gdy wykres przesunięcia-czasu jest zakrzywiony, nie jest możliwe obliczenie prędkości z jego nachylenia. Slope jest własnością tylko linii prostych. Taki obiekt nie ma prędkości, ponieważ nie ma nachylenia. W tym miejscu podkreślono słowa "quotthequot" i "quotaquot", aby podkreślić ideę, że w tych warunkach nie ma jednej prędkości. Prędkość takiego obiektu musi się zmieniać. Jego przyspieszenie. Na wykresie przesunięcia-czasu linie proste oznaczają stałą prędkość. zakrzywione linie oznaczają przyspieszenie. obiekt poddawany ciągłemu przyspieszeniu śledzi część paraboli. Chociaż nasz hipotetyczny obiekt nie ma jednej prędkości, nadal ma średnią prędkość i ciągłe gromadzenie chwilowych prędkości. Średnią prędkość dowolnego obiektu można znaleźć dzieląc całkowite przemieszczenie przez całkowity czas. Jest to to samo, co obliczanie nachylenia linii prostej łączącej pierwszy i ostatni punkt krzywej, jak pokazano na schemacie po prawej stronie. W tym abstrakcyjnym przykładzie średnia prędkość obiektu była zbliżona do punktu końcowego linii średniej prędkości, stając się lepszym wskaźnikiem rzeczywistej prędkości. Kiedy te dwa punkty pokrywają się, linia jest styczna do krzywej. Ten proces limitu jest reprezentowany w animacji po prawej stronie. Na grafie przemieszczenia średnia prędkość jest nachyleniem prostej łączącej punkty końcowe krzywej. chwilowa prędkość jest nachyleniem linii stycznej do krzywej w dowolnym punkcie. Siedem stycznych zostało dodanych do naszego ogólnego wykresu czasowego przemieszczenia w animacji pokazanej powyżej. Zwróć uwagę, że nachylenie wynosi zero dwa razy 8212 raz na górze nierówności w 3.0 s i ponownie w dolnej części wgniecenia na 6,5 ​​s. (Uderzenie jest lokalnym maksimum, podczas gdy wgniecenie jest lokalnym minimum, kolektywnie takie punkty nazywa się lokalnym ekstrema.) Nachylenie poziomej linii wynosi zero, co oznacza, że ​​obiekt był w tym czasie nieruchomy. Ponieważ wykres nie jest płaski, obiekt spoczywał tylko przez chwilę, zanim znów zaczął się poruszać. Chociaż jego pozycja nie zmieniała się w tym czasie, jego prędkość była. Jest to pojęcie, z którym wielu ludzi ma trudności. Możliwe jest przyspieszenie, a jednak nie poruszanie się (ale tylko na chwilę, oczywiście). Należy również zauważyć, że nachylenie jest ujemne w przedziale między uderzeniem w 3 s a wgięciem w 6,5 sekundy. Niektórzy interpretują to jako ruch odwrotny, ale czy to na ogół tak jest? Jest to abstrakcyjny przykład. Nie towarzyszy mu żaden tekst. Wykresy zawierają wiele informacji, ale bez tytułu lub innej formy opisu nie mają znaczenia. Co przedstawia ten wykres Osoba A Samochód Winda A rhinoceros Asteroid Pył pyłku O wszystkim możemy powiedzieć, że ten obiekt poruszał się najpierw, spowolnił do zatrzymania, odwrócił kierunek, zatrzymał się ponownie, a następnie wznowił poruszanie się w kierunek zaczął (niezależnie od tego, jaki był kierunek). Ujemne nachylenie nie oznacza automatycznie jazdy do tyłu lub chodzenia w lewo lub upadku. Wybór znaków jest zawsze arbitralny. Ogólnie można powiedzieć, że gdy nachylenie jest ujemne, obiekt porusza się w kierunku ujemnym. Na wykresie przesunięcia-czasu nachylenie dodatnie oznacza ruch w kierunku dodatnim. nachylenie ujemne implikuje ruch w kierunku ujemnym. zero nachylenia oznacza stan spoczynku. prędkość-czas Najważniejszą rzeczą do zapamiętania na wykresach prędkości i czasu jest to, że są to wykresy prędkości i czasu, a nie wykresy czasowe. W wykresie liniowym jest coś, co sprawia, że ​​ludzie myślą, że patrzą na ścieżkę obiektu. Powszechnym błędem dla początkujących jest patrzenie na wykres po prawej stronie i myślenie, że linia v 9.0 ms odpowiada obiektowi, który jest quotigherquot niż inne obiekty. Nie myśl tak. To jest źle. Nie patrz na te wykresy i myśl o nich jako o obrazie poruszającego się obiektu. Zamiast tego pomyśl o nich jako o prędkości obiektów. Na tych wykresach wyższe oznacza szybszy nie dalej. Linia v 9.0 ms jest wyższa, ponieważ obiekt porusza się szybciej niż inne. Te poszczególne wykresy są poziome. Początkowa prędkość każdego obiektu jest taka sama, jak końcowa prędkość jest taka sama jak każda prędkość pomiędzy. Prędkość każdego z tych obiektów jest stała podczas tego dziesięciosekundowego okresu. Dla porównania, kiedy krzywa na wykresie prędkości i czasu jest prosta, ale nie pozioma, prędkość się zmienia. Każda z trzech krzywych po prawej ma inne nachylenie. Wykres o najbardziej stromym zboczu charakteryzuje się najszybszą zmianą prędkości. Ten obiekt ma największe przyspieszenie. Porównaj równanie prędkość-czas dla stałego przyspieszenia z klasycznym równaniem przechwytywania nachylenia, opisanym w algebrze wprowadzającej. Siedem stycznych zostało dodanych do naszego ogólnego wykresu prędkości i czasu w animacji pokazanej powyżej. Zwróć uwagę, że nachylenie wynosi zero dwa razy 8212 raz na górze nierówności w 3.0 s i ponownie w dolnej części wgniecenia na 6,5 ​​s. Nachylenie linii poziomej wynosi zero, co oznacza, że ​​obiekt zatrzymał się natychmiast w tym czasie. Przyspieszenie mogło wynosić zero w tych dwóch momentach, ale nie oznacza to, że obiekt się zatrzymał. Aby do tego doszło, krzywa musiałaby przechwycić oś poziomą. Stało się to tylko raz 8212 na początku wykresu. W obu przypadkach, gdy przyspieszenie było zerowe, obiekt nadal poruszał się w dodatnim kierunku. Należy również zauważyć, że nachylenie było ujemne z 3,0 s do 6,5 s. W tym czasie prędkość zmniejszała się. Jednak nie jest to prawda. Prędkość spada, gdy krzywa powraca do punktu początkowego. Powyżej osi poziomej będzie to nachylenie ujemne, ale poniżej będzie to nachylenie dodatnie. Jedyną rzeczą, którą można powiedzieć o ujemnym nachyleniu na wykresie prędkości i czasu, jest to, że w takim przedziale prędkość staje się bardziej ujemna (lub mniej pozytywna, jeśli wolisz). Na wykresie prędkość-czas dodatnie nachylenie implikuje wzrost prędkości w kierunku dodatnim. nachylenie ujemne implikuje wzrost prędkości w kierunku ujemnym. zero nachylenia oznacza ruch o stałej prędkości. W kinematykach występują trzy wielkości: przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Biorąc pod uwagę wykres dowolnej z tych wielkości, zawsze można zasadniczo określić pozostałe dwa. Przyspieszenie to czas zmiany prędkości, który można znaleźć od nachylenia stycznej do krzywej na wykresie prędkości-czasu. Ale w jaki sposób można ustalić przesunięcie? Pozwala zbadać kilka prostych przykładów, a następnie wyprowadzić związek. Zacznij od prostego wykresu prędkości i czasu pokazanego po prawej stronie. (Dla uproszczenia załóżmy, że początkowe przesunięcie wynosi zero.) Na tym wykresie są trzy ważne interwały. W każdym przedziale przyspieszenie jest stałe, jak pokazują segmenty linii prostych. Kiedy przyspieszenie jest stałe, średnia prędkość jest tylko średnią wartości początkowej i końcowej w przedziale. 0-4 s: Ten segment jest trójkątny. Obszar trójkąta jest o połowę mniejszy od podstawy. Zasadniczo właśnie obliczyliśmy obszar trójkąta segmentu na tym wykresie. Skumulowana odległość przebyta na końcu tego przedziału to 16 m 36 m 20 m 72 m. Mam nadzieję, że widzisz ten trend. Obszar pod każdym segmentem jest zmianą przemieszczenia obiektu podczas tego okresu. Dzieje się tak nawet wtedy, gdy przyspieszenie nie jest stałe. Każdy, kto przystąpił do kursu rachunkowego, powinien był o tym wiedzieć, zanim przeczyta go tutaj (a przynajmniej kiedy go przeczytali, powinien był powiedzieć: "Tak, tak, pamiętam"). Pierwszą pochodną przesunięcia względem czasu jest prędkość. Pochodną funkcji jest nachylenie linii stycznej do jej krzywej w danym punkcie. Odwrotna operacja pochodnej nazywana jest całką. Całka funkcji jest skumulowanym obszarem między krzywą a osią poziomą w pewnym przedziale. Ta zależność odwrotna między działaniami pochodnymi (nachylenie) i całką (obszarem) jest tak ważna, że ​​nazywana jest podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego. Oznacza to, że jest to ważny związek. Dowiedz się więcej. Nie widziałeś tego ostatniego. Na wykresie prędkości i czasu pole pod krzywą odpowiada zmianie w przesunięciu. Czas przyspieszania Wykres czasu przyspieszania dowolnego obiektu poruszającego się ze stałą prędkością jest taki sam. Jest to prawdą niezależnie od prędkości obiektu. Samolot lecący ze stałą prędkością 600 mil / h (270 ms), leniwce chodzącej ze stałą prędkością 1 mph (0,4 ms) i leżącym przed telewizorem godziną leżącego ziemniaka będzie miał te same wykresy czasu przyspieszania 8212 pozioma linia współliniowa z osią poziomą. To dlatego, że prędkość każdego z tych obiektów jest stała. Nie przyspieszają. Ich przyspieszenia są zerowe. Podobnie jak w przypadku wykresów prędkości i czasu, ważną rzeczą do zapamiętania jest to, że wysokość powyżej osi poziomej nie odpowiada pozycji ani prędkości, odpowiada przyspieszeniu. Jeśli potkniesz się i spadniesz w drodze do szkoły, twoje przyspieszenie w kierunku ziemi jest większe niż we wszystkich samochodach z wyjątkiem samochodów o wysokich osiągach, z ofertą na metalquot. Przyspieszenie i prędkość są różnymi wielkościami. Szybkie działanie nie oznacza szybkiego przyspieszenia. Te dwie wielkości są niezależne od siebie. Duże przyspieszenie odpowiada szybkiej zmianie prędkości, ale nie mówi nic o wartościach samej prędkości. Gdy przyspieszenie jest stałe, krzywa przyspieszenia-czasu jest linią poziomą. Szybkość zmiany przyspieszenia z czasem jest wielkością bez znaczenia, więc nachylenie krzywej na tym wykresie również nie ma znaczenia. Przyspieszenie nie musi być stałe, ale czas zmiany tej liczby nie ma nazwy. Na pozór jedyną informacją, jaką można uzyskać z wykresu przyspieszenia w czasie, jest przyspieszenie w danym momencie. Na wykresie nachylenia czas przyspieszania jest bez znaczenia. przechwyt quotyquota jest równy początkowemu przyspieszeniu. gdy dwie krzywe pokrywają się, te dwa obiekty mają w tym czasie takie samo przyspieszenie. obiekt poddawany ciągłemu przyspieszaniu śledzi linię poziomą. zero nachylenia implikuje ruch ze stałym przyspieszeniem. Przyspieszenie to szybkość zmiany prędkości wraz z upływem czasu. Przekształcenie wykresu prędkości i czasu na wykres przyspieszenia-czasu oznacza obliczenie nachylenia linii stycznej do krzywej w dowolnym punkcie. (W rachunku, nazywa się to szukaniem pochodnej). Odwrotny proces polega na obliczeniu skumulowanego obszaru pod krzywą. (W rachunku różniczkowym nazywa się to znalezieniem całki). Ta liczba jest zmianą wartości na wykresie prędkości-czasu. Biorąc pod uwagę początkową prędkość zerową (i zakładając, że dół jest dodatni), ostateczna prędkość osoby spadającej na wykres po prawej to wykresy ruchowe. Interpretacja ekonomiczna operacji rachunku różniczkowego - jednowymiarowy nachylenie jako marginalna szybkość zmian Bardzo jasny sposób widzenia w jaki sposób rachunek różniczkowy pomaga nam interpretować informacje ekonomiczne, a relacje to porównanie funkcji całkowitych, średnich i marginalnych. Weźmy na przykład funkcję kosztów całkowitych, TC: Dla danej wartości Q, powiedzmy Q10, możemy zinterpretować tę funkcję jako mówiącą nam, że: kiedy produkujemy 10 jednostek tego towaru, całkowity koszt wynosi 190. Chcemy aby dowiedzieć się więcej o tym, jak koszty ewoluują w cyklu produkcyjnym, więc pozwala obliczyć średni koszt, który jest całkowity koszt podzielony przez liczbę wyprodukowanych jednostek, lub Q: Dlatego, gdy produkujemy 10 jednostek tego dobra, średni koszt na jednostkę jest 19. Jest to jednak nieco nieuczciwe, ponieważ wciąż nie wiemy, w jaki sposób ewoluują lub zmieniają się koszty w trakcie produkcji. Na przykład pierwsza jednostka (Q 1) kosztuje 10 do wyprodukowania. Oczywiście, jeśli średnia kończy się 19, a pierwsza jednostka kosztuje 10, to koszt wytworzenia jednostki musi się zmieniać, gdy produkujemy różne jednostki. Alternatywnie, aby być bardziej technicznym, zmiana kosztu całkowitego nie jest taka sama za każdym razem, gdy zmieniamy Q. Pozwala zdefiniować tę zmianę całkowitych kosztów dla danej zmiany w Q jako koszt krańcowy. Brzmi znajomo Nachylenie definiuje się jako szybkość zmian w zmiennej Y (całkowity koszt, w tym przypadku) dla danej zmiany w zmiennej X (Q lub jednostki towaru). Dlatego przyjęcie pierwszej pochodnej lub obliczenie wzoru na nachylenie może ustalić koszt krańcowy dla danego towaru. Co ze zmianą kosztów krańcowych? W ten sposób możemy nie tylko ocenić koszty na określonym poziomie, ale możemy zobaczyć, jak zmieniają się koszty krańcowe, gdy zwiększamy lub obniżamy poziom produkcji. Dzięki naszemu obliczonemu zapleczu jasne jest, że zmianę kosztu krańcowego lub zmiany nachylenia można obliczyć, biorąc drugą pochodną. Te trzy równania dają nam teraz znaczną ilość informacji dotyczących procesu kosztowego w bardzo przejrzystym formacie. Na przykład obliczyć koszt krańcowy wyprodukowania setnej jednostki tego towaru. Załóżmy, że twój szef chce, abyś oszacował koszty za 101 jednostkę. Możesz ponownie obliczyć koszt krańcowy lub możesz zauważyć, że druga pochodna mówi ci, że koszt krańcowy ma się zmienić o wzrost o dwa, za każdy wzrost jednostkowy w Q. Dlatego, Podsumowując, możesz zacząć od funkcji , weź pierwszą i drugą pochodną i dużo informacji dotyczących zależności między zmiennymi, w tym wartości całkowite, zmiany wartości całkowitych i zmiany wartości brzegowych. Charakterystyka względnych i absolutnych maksimów i minimów Pierwsza i druga pochodna mogą być również użyte do poszukiwania maksymalnych i minimalnych punktów funkcji. Na przykład cele ekonomiczne mogą obejmować między innymi maksymalizację zysku, minimalizację kosztów lub maksymalizację użyteczności. Aby zrozumieć charakterystykę punktów optymalnych, zacznij od cech samej funkcji. Funkcja w danym punkcie jest zdefiniowana jako wklęsła, jeśli funkcja znajduje się poniżej linii stycznej w pobliżu tego punktu. Aby wyjaśnić, wyobraź sobie wykres paraboli, który otwiera się w dół. Rozważmy teraz punkt na samym szczycie paraboli. Z definicji linia styczna do tego punktu byłaby linią poziomą. Oczywiste jest, że wykres górnej części paraboli, w sąsiedztwie punktu, leży poniżej linii stycznej, dlatego wykres jest wklęsły w sąsiedztwie tego punktu. Zwróć uwagę, ile uwagi poświęca się ograniczaniu dyskusji o wklęsłości do części funkcji w pobliżu rozpatrywanego punktu. Załóżmy, że funkcja jest wielomianem wyższego rzędu, który przyjmuje kształt krzywej z 2 lub więcej punktami zwrotnymi. Łatwo byłoby wyobrazić sobie funkcję, w której część znajdowała się poniżej poziomej linii stycznej, została ponownie obrócona i powróciła w górę poza linię. Definicja wklęsłości odnosi się tylko do części funkcji w pobliżu punktu, w którym linia styczna dotyka krzywej, nie jest wymagana do trzymania wszędzie na łuku. Rozważ samą linię styczną. Przypomnij sobie z poprzedniej sekcji o funkcjach liniowych, że nachylenie linii poziomej lub funkcji jest równe zeru. Dlatego nachylenie w punkcie szczytowym lub punkcie zwrotnym tej funkcji wklęsłej musi wynosić zero. Innym sposobem na to jest rozważenie wykresu po lewej stronie punktu zwrotnego. Zwróć uwagę, że funkcja jest pochylona do góry, tzn. Ma nachylenie większe od zera. Sekcja wykresu po prawej stronie punktu zwrotnego jest nachylona w dół i ma nachylenie ujemne lub nachylenie mniejsze niż zero. Patrząc na wykres od lewej do prawej, widać, że nachylenie jest najpierw dodatnie, staje się mniejszą liczbą dodatnią, im bliżej punktu zwrotnego, jest ujemne na prawo od punktu zwrotnego i staje się większym ujemnym numer, im dalej podróżujesz od punktu zwrotnego. Ponieważ jest to funkcja ciągła, musi istnieć punkt, w którym nachylenie przechodzi od dodatniego do ujemnego. Innymi słowy, na chwilę nachylenie musi wynosić zero. Punkt ten już określiliśmy jako punkt zwrotny. Istnieje jednak znacznie łatwiejszy sposób identyfikacji tego, co się dzieje. Przypomnijmy, że drugie pochodne dostarczają informacji o zmianie nachylenia. Możemy użyć tego w połączeniu z pierwszą pochodną w rosnących punktach x (gdy podróżujesz od lewej do prawej na wykresie) w celu określenia charakterystycznych cech funkcji. Na przykład, spójrz na następującą funkcję i jej wykres: Zauważ, że ujemna druga pochodna oznacza, że ​​pierwsza pochodna zawsze maleje dla danej (dodatniej) zmiany w x, tj. Gdy wzrasta x, (zawsze czytając wykres od lewej do prawej ). Jeśli pierwsza pochodna zawsze maleje, I wiemy, że przechodzi przez zero w punkcie zwrotnym, to musi być przypadek, że funkcja jest wklęsła w sąsiedztwie punktu zwrotnego - tj. punkt zwrotny jest punktem maksymalnym. Aby w pełni docenić ten wynik, rozważmy przeciwieństwo - funkcję wypukłą, tj. Funkcję znajdującą się ponad linią, która jest styczna do punktu zwrotnego, w sąsiedztwie tego punktu. Przechodząc od lewej do prawej, zauważ, że nachylenie jest ujemne, przechodzi przez zero w punkcie zwrotnym, a następnie staje się dodatnie. Dlatego oczekiwalibyśmy, że podstawową funkcją będzie taka, w której pierwsza pochodna wynosi zero w punkcie zwrotnym, z dodatnią drugą pochodną w sąsiedztwie punktu zwrotnego, co wskazuje na rosnące nachylenie. Te dwa warunki są charakterystyczne dla funkcji o minimalnym punkcie. Te charakterystyki pochodnych pierwszego i drugiego rzędu nie tylko opisują funkcje z punktami maksymalnymi i minimalnymi, ale są wystarczające do udowodnienia, że ​​rozpatrywane punkty są punktami maksymalnymi lub minimalnymi. Przyjrzyjmy się charakterystyce: Względne minimum w punkcie xa będzie miało pochodne f (a) 0 i f (a) gt 0. Względne maksimum w punkcie xa będzie miało pochodne f (a) 0 i f (a) lt 0 Uwaga: słowo względne służy do wskazania maksymalnego lub minimalnego punktu w sąsiedztwie punktu (xa). Tylko wtedy, gdy można udowodnić, że istnieje jeden i tylko jeden maksimum lub min, można go uznać za absolutnie optymalny punkt. Dla naszych celów będzie to możliwe tylko wtedy, gdy druga pochodna jest stała, co oznacza, że ​​funkcja przechodzi przez punkt zwrotny tylko raz, a zatem ma tylko jedno maksimum lub minimum. Nieograniczona optymalizacja Teraz, gdy możemy użyć zróżnicowania, aby zebrać tak wiele informacji dotyczących cech funkcji, optymalizacja funkcji ekonomicznych będzie bardzo prosta. Biorąc pod uwagę ciągłą, różniczkowalną funkcję, wykonaj następujące kroki, aby znaleźć względne maksimum lub minimum funkcji: 1. Weź pierwszą pochodną funkcji i znajdź funkcję dla nachylenia. 2. Ustaw dydx równy zeru i rozwiąż przez x, aby uzyskać punkt krytyczny lub punkty. Jest to konieczny warunek pierwszego rzędu. 3. Weź drugą pochodną oryginalnej funkcji. 4. Zamień x z kroku 2 na drugą pochodną i rozwiąż, zwracając szczególną uwagę na znak drugiej pochodnej. Jest to również znane jako ocena drugiej pochodnej w krytycznym punkcie (punktach) i zapewnia wystarczający warunek drugiego rzędu. 5. Użyj następujących cech, aby określić, czy funkcja oceniana w punkcie krytycznym lub punktach jest względnym maksimum lub minimum: Prawdopodobnie zawsze będziesz wykonywać ćwiczenia w funkcjach, w których istnieje maksimum lub minimum, ale pamiętaj, że będziesz robił publiczne polityka w prawdziwym świecie. Tylko dlatego, że szukasz ilości, która optymalizuje zysk lub poziom produkcji, który minimalizuje koszty, nie oznacza, że ​​faktycznie istnieje. To dlatego zawsze musisz postępować zgodnie z wszystkimi krokami i potwierdzać wszystkie wyniki w warunkach koniecznych i wystarczających. (Zwłaszcza upewniając się, że optymalnym punktem jest typ, którego potrzebujesz, tj. Maksimum, jeśli zmaksymalizujesz i min, jeśli minimalizujesz) Rozważ poniższe przykłady. Przykład 1: Znajdź wartości krytyczne następującej funkcji i sprawdź, czy funkcja jest wypukła lub wklęsła i ma względne maksimum lub minimum: Rozwiązanie 1: Weź pierwszą pochodną i uprość, a następnie rozwiązuj dla wartości krytycznej. Jest to wartość x, gdzie nachylenie funkcji jest równe zeru: Oceń funkcję w punkcie krytycznym określonym powyżej (nie jest to konieczny krok, ale dla praktyki i aby kontekst dał się dobrze rozwiązać): Teraz określ drugą pochodną i oceń ją w punkcie krytycznym: druga pochodna jest zawsze ujemna, niezależnie od wartości x. Daje nam to dwie informacje. Po pierwsze, funkcja ma względne maksimum (tj. Jest wklęsła), a po drugie, stała druga pochodna implikuje pojedynczy punkt zwrotny, a zatem względne maksimum jest także absolutnym maksimum. Przykład 2: Biorąc pod uwagę następującą funkcję całkowitego kosztu, określ poziom produkcji, który minimalizuje średni koszt, i poziom, który minimalizuje koszt krańcowy: Rozwiązanie 2: Przekształć funkcję kosztów całkowitych w funkcję kosztów średnich, dzieląc przez Q: Teraz, Aby zminimalizować funkcję kosztu średniego, wykonaj czynności wymienione powyżej. Rozpocznij od pobrania pierwszej pochodnej, ustawienia jej równej zeru i rozwiązania dla punktów krytycznych. P: Kiedy Q 12, funkcja kosztu średniego osiąga względną wartość optyczną, teraz testujemy wklęsłość, biorąc drugą pochodną średniego kosztu: zauważ drugą pochodną jest dodatnie dla wszystkich wartości Q, włącznie z punktem krytycznym Q 12, a więc testem drugiego rzędu, funkcja ma względne minimum w punkcie krytycznym. Ponieważ druga pochodna jest stała, względne minimum jest również absolutnym minimum. Zauważ, że byliśmy w stanie udowodnić, że średni koszt jest zminimalizowany, gdy Q wynosi 12, bez konieczności faktycznego określenia średniego kosztu. Teraz, aby zminimalizować koszty krańcowe. Z pierwotnej funkcji koszt całkowity, weź pierwszą pochodną, ​​aby uzyskać funkcję dla nachylenia, lub tempo zmiany całkowitego kosztu dla danej zmiany w Q, znanej również jako koszt krańcowy. Teraz postępuj zgodnie z instrukcjami, aby zminimalizować funkcję kosztu krańcowego. Nawet jeśli MC jest funkcją nachylenia całkowitego kosztu, zignoruj ​​to i potraktuj jako autonomiczną funkcję, i weź pochodne pierwszego i drugiego rzędu zgodnie z etapami optymalizacji. Gdy Q jest równe 8, funkcja MC jest zoptymalizowana. Test dla maksimum lub min: Druga pochodna MC jest dodatnia dla wszystkich wartości Q, dlatego funkcja MC jest wypukła i ma względne minimum, gdy q jest równe 8. Przykład 3: Znajdź optymalne punkty funkcji zysku i określić, jaki poziom produkcji Q zmaksymalizuje zysk. Zacznij od podjęcia pierwszej i drugiej pochodnej: Ustaw pierwszą pochodną równą zero i rozwiąż punkty krytyczne: Użyj równania kwadratowego, aby rozwiązać powyższe równanie. Zauważ, że istnieją 2 krytyczne punkty, ale z ekonomicznego punktu widzenia, tylko jeden jest dostępny dla nas jako rozwiązanie naszego problemu, ponieważ nie możemy wyprodukować ujemnej ilości. Ocena drugiej pochodnej przy Q równa się 24 w celu określenia wklęsłości. Druga pochodna jest mniejsza od zera, co oznacza, że ​​nasza funkcja jest wklęsła i ma względne maksimum, gdy Q jest równe 24. Ostatnia uwaga: tytułem tej sekcji była nieograniczona optymalizacja. Słowo "nieograniczony" odnosi się do faktu, że nie wprowadziliśmy żadnych ograniczeń dotyczących optymalizowanych zależności funkcjonalnych. Innymi słowy, założyliśmy, że dostępny jest dowolny poziom zmiennej x, z wyjątkiem świata rzeczywistego o ujemnych wartościach wielkości fizycznych (przywołanie Q-40 zostało wykluczone). Oczywiście nie jest to realistyczne, a ponieważ nasze modele stają się bardziej realistyczne w sekcji wielowymiarowej, dodamy ograniczenia do naszych problemów optymalizacyjnych. Nie ma sensu robić ograniczonej optymalizacji w procesach jednoczynnikowych, ponieważ zawsze łatwiej jest osadzić ograniczenie w jednym z równań i zastosować ten sam proces, który opisano w tej sekcji.100 lat historii giełdowej (wykres log) W czasach zawirowań Takich jak kryzys finansowy, szukam jednego z tych dużych wykresów ze strzałką, która mówi: 8220 Jesteś tutaj.8221 W tym duchu przedstawiam następujący długoterminowy wykres log podsumowujący ponad 100 lat DJIA (Dow Jones Średnia przemysłowa). Większość moich analiz przełożę na później, a na to stanowisko liczą przede wszystkim to, co jeden z moich profesorów statystycznych nazywał 8220 traumem ocznym.8221 Dow Jones 100-letni wykres historii giełdowej Dow Indeks 100-letniej historii Wykres giełdowy Rok 1900 zmienił się między podekscytowaniem a brakiem zainteresowania Powyżej znajduje się wykres wyników giełdowych (Dow Jones) od 1900 roku (kliknij na obrazek, aby go powiększyć). Pokazuje ceny zamknięcia na koniec roku 2017. (Zobacz roczne stopy zwrotu za wykres słupkowy każdego roku.) Podczas gdy niektórzy opisują tę historię jako stały, długoterminowy trend wzrostowy, wydaje mi się, że pokazuje ona na przemian okresy podniecenia i brak zainteresowania. Na przykład okresy od 821733 do 821765 i od 821782 do 821799 były okresami podekscytowania. Od 821733 do 821765 średnia stopa zwrotu wynosiła około 7 rocznie plus dywidendy - łącznie około 10. Od 821782 do 821799 średni zwrot wynosił około 15 rocznie, ponownie plus dywidendy 8211, chociaż dywidendy w ostatnich dziesięcioleciach były znacznie mniejsze niż byli w poprzednich dziesięcioleciach. Długie okresy płaskie Z drugiej strony, zamknięcie z 1905 roku 96 nie zostało trwale zaćmione, aż do 28 lat później - 1933 roku zamknięcie roku 1965 z 969 nie zostało trwale zaćmione do 17 lat później - 1982. Używam słowa 8220disinterest 8221 do scharakteryzowania tych długie, płaskie okresy. (Uwaga: jest to wykres rejestru, jeśli nie jesteś ich obeznany, patrz wykresy wykresów giełdowych). W dłuższej perspektywie można oczekiwać, że wyniki giełdowe powinny zbliżać się do wyników podstawowych firm. Dlatego oczywistą interpretacją tego wykresu jest to, że rynek giełdowy okresowo wyprzedza się, przyspieszając szybciej niż podstawowe firmy, a następnie musi poczekać, aż wartość 8220real8221 wartości bazowych firm nadrobi w czasie długich, płaskich okresów 8220 zainteresowania. .8221 Jeśli tak jest, moglibyśmy być w innym z tych 8220 okresów zainteresowania4222 - chociaż kiedy faktycznie znajdujesz się w jednym z tych okresów, możesz znaleźć inne słowa bardziej opisowe8230. Uwaga: Powyższy wykres i dyskusja ignorują wpływ inflacji. Aby zobaczyć długie, płaskie okresy skorygowane o inflację, zobacz 100 lat historii giełdowej skorygowanej o inflację. Ostrzeżenie: nie dla osób o słabych nerwach The Monthly Update, amp Dodanie 25-letniej średniej ruchomej jako poziomu wsparcia Postpekcja na temat rynku akcji w marcu 2017 r. Zawiera podsumowanie ostatniego miesiąca i roku bieżącego oraz porównania z ważnymi kamienie milowe, takie jak najwyższe wzloty i upadki. Ponadto zawiera najnowszą prognozę dla 10-letnich zwrotów rynkowych. 25-letnia średnia ruchoma może być użytecznym dodatkiem do powyższego wykresu. Jak omówiono w Dow 25-letniej historii ruchomej. rynek bardzo rzadko spadał poniżej swojej 25-letniej średniej kroczącej. Oznacza to, że historycznie ta średnia ruchoma stanowiła wiarygodny poziom wsparcia na świeckich rynkach niedźwiedzi. Wykres ten jest aktualizowany nieczęsto, stosownie do potrzeb. Och, co to jest 8220oczna trauma8221 To był nieżyjący profesor Harry Roberts8217 sposób powiedzenia, że ​​8220it trafia cię między oczy.8221 Zalecane lektury: Inne długoterminowe perspektywy 100 lat stóp procentowych skarbowych papierów wartościowych. Podobna perspektywa na stopy procentowe. Skorygowana o inflację historia giełd. Podobnie jak ten post, ale skorygowany o inflację. I kolejna perspektywa otwierania oczu w długich, płaskich okresach. 100 lat historii cen mieszkań. Wykres indeksu cen mieszkań od 1900 r. Porównanie mieszkań i rynku akcji. pokazuje długoterminowy wzrost rynku akcji, w tym reinwestowane dywidendy (powyższy wykres wyklucza dywidendy). Dow Roczna historia powrotu. wykres słupkowy rocznego całkowitego zwrotu (tj. z uwzględnieniem dywidend) począwszy od 1929 r. Dow. PriceEarnings Ratio History Od 1929 r. - Coroczny wykres. Podobna perspektywa stosunku PE. Bliżej patrzy na bańki, na przemian podekscytowanie, długie okresy płaskie Wykres na giełdzie w 1929 r. Zderzenie z bliżej 1929-1932. 25 najlepszych i najgorszych rocznych zysków na giełdzie. bliższe spojrzenie na roczne zyski. Pożyczanie zwrotów z przyszłości. cena nadzwyczajnych bieżących wyników może zostać zmniejszona w przyszłości. Indeks Dow - Historia zamknięta z uwzględnieniem inflacji. Wpływ dostosowania inflacji na długie, płaskie okresy. Skład 10-letnich zwrotów. dodatkowa perspektywa zjawiska naprzemiennego podniecenia i braku zainteresowania. Irracjonalny entuzjazm. Książka Roberta Shillera8217 omawiająca przyczyny powstawania baniek i zapowiadająca pęknięcie bańki technologicznej w 2000 roku. Kto się boi rynku bocznego. Ciekawa perspektywa na długich okresach płaskich od Morningstar. Inne popularne posty znajdują się na pasku bocznym po lewej lub nagłówku bloga. Dane i obliczenia Dla tych, którzy chcieliby wykonać dodatkową analizę, zobacz ten post, aby uzyskać link do moich danych rocznego zamknięcia Dow Jones i związanych z nimi obliczeń. Arkusz kalkulacyjny automatycznie obliczy stopę wzrostu Dows między dwoma wprowadzonymi przez ciebie latami (np. Średni zwrot z rynku akcji w latach 1982-1999, w tym dywidendy). Copyright 169 2017. Ostatnia modyfikacja: 3302017 Podziel się tym artykułem Bookmark this on Delicious Aby udostępnić za pośrednictwem Facebooka, Twittera itp. Zobacz linki poniżej Anon, Dane pochodzą z arkusza kalkulacyjnego, który utworzyłem (ręcznie) jakiś czas w latach 90. XX wieku. I39m jest praktycznie pewne, że oryginalne dane (do 1989 r.) Pochodziły z podręcznika Barron39s Finance amp Investment Handbook (wydanie trzecie). Dane od tego czasu pochodzą z połączenia Barron39, Morningstar i lokalnej gazety, z której kiedykolwiek mieszkałem. Zgaduję, że to nie pomoże ci bardzo. Tak więc zobaczę, czy mogę wymyślić, jak opublikować arkusz kalkulacyjny. To może trochę potrwać. Bank centralny bezmyślnie opracował ogromną bańkę, która zaczęła się w latach 40. XX w., Tak duża, że ​​przyćmiewa bańkę z 1920 roku. Każdy, kto myśli, że wydostaniemy się z tego ok, musi ponownie zbadać fakty. Wszystkie obecne próby ponownego napełnienia tej bańki, takie jak subsydiowane przez podatników auto, sprzedaż artykułów gospodarstwa domowego przyspieszą dzień, w którym dawne Stany Zjednoczone staną na łasce świata. Zgadzam się z twoją analizą do tego stopnia, że ​​jesteśmy teraz. Problem polega jednak na tym, że wysyłamy oferty pracy za ocean w alarmującym tempie. To, co było amerykańskimi firmami, jest teraz międzynarodowe, a firmy przeniosły się do Chin i gdzie indziej. W dłuższej perspektywie, wraz z rozwojem tego trendu, Stany Zjednoczone staną w obliczu deflacji, gdy spadną wartości i spadną płace. W tym samym czasie rząd amerykański usunął większość zabezpieczeń wprowadzonych po Wielkim Kryzysie, a tym samym umocnił pozycję banków i domów maklerskich. O ile przepisy regulujące banki, banki i ograniczające ich wielkość i funkcje oraz domy maklerskie nie będą mogły być bankami, nasz system finansowy nie będzie zdrowy. Bardzo doceniam twoją analizę tutaj. Teraz, ponad rok później, jak sądzisz, jak zmieniła się sytuacja? Nie jestem pewien, czy rozumiem twoje pytanie, ale i tak spróbuję odpowiedzieć. Wartość patrzenia na 100-letnie wykresy jest taka, że ​​jeden dodatkowy rok nie zmienia się bardzo. Zaletą jest spojrzenie na historię z tej szerokiej perspektywy. Kiedy zaktualizuję 100-letni wykres na koniec roku, dla mnie nie będzie wyglądał znacząco inaczej niż wyglądał rok temu. W rezultacie moja interpretacja będzie prawdopodobnie taka sama - nadal będę widzieć historię rynku giełdowego jako składającą się z okresów podekscytowania, po których następują długie (względnie) płaskie okresy, w których podstawowe firmy muszą dogonić poprzednio euforyczny rynek akcji. Nie byłbym więc zaskoczony, gdyby podobne lata zakończyły lata podobnej duszy przeprowadzającej podobną analizę. W tym sensie sytuacja nie uległa zmianie. Ale zrozumcie, że to, co wygląda po dłuższej perspektywie, niekoniecznie musi tak wyglądać, kiedy jesteście pośród nich. Na przykład lata 1973-74 były koszmarnymi latami, gdy giełda 1975-76 była bardzo ładna. Z perspektywy czasu, biorąc pod uwagę ten pogląd, wszystkie te lata były częścią długiego, płaskiego okresu. Tak więc nawet w tych okresach płaskich istnieją możliwości, aby zarobić lub stracić dużo pieniędzy w krótkim okresie. Z tego punktu widzenia jasne jest, że sytuacja uległa zmianie, ponieważ inwestowanie przed rokiem przyniosłoby lepsze rezultaty niż inwestowanie teraz. Zgaduję, że już to wiedziałeś.